Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание / Дж. Пойа, 1967 Авторы: Пойа Дж. Год: 1967. Файл в формате .djvu (потребуется соответствующий редактор) В книге не только содержится анализ самого процесса решения задачи (процесса ‘математического открытия’), но и немало места занимают прямые методические рекомендации, это вызвано тем, что процесс решения задач анализируется в неразрывной связи с процессом обучения решению задач, так что здесь тесно увязаны два вопроса: ‘Как это решить?’ и ‘Как научить это решать?’. Основное внимание уделено задачам школьного уровня, и лишь в редких эпизодах изложение отклоняется в область высшей математики. Каждую главу сопровождают упражнения и дополнительные замечания к ним, дающие более широкое толкование вопроса. Скачать Содержание От редактора 9 Из предисловия автора 13 Советы и указания 19 Советы учителям и учителям учителей 20 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ Глава 1. Метод двух геометрических мест 25 § 1. Геометрические построения 25 § 2. От примера к методу 26 § 3. Примеры 27 § 4. Предположим, что задача решена 29 § 5. Метод подобия 32 § 6. Примеры 33 § 7. Метод вспомогательных фигур 37 Упражнения и дополнительные замечания к главе 1 (1 — 54) 38 [7. Обозначения. 15. Три маяка. 45. Изъян. 47. Взгляд назад. 48. Три наблюдательных пункта. 49. Замечания по поводу метода двух геометрических мест. 50. Метод трех геометрических мест. 52. О геометрических построениях. 53. Дополнительные задачи. 54. Множества.] Глава 2. Метод Декарта 45 § 1. Декарт и его идея об универсальном методе 45 § 2 . Задачка 46 § 3. Составление уравнений 50 § 4. Школьные задачи 52 § 5. Геометрические примеры 56 § 6. Пример из физики 61 § 7. Пример из области головоломок 64 § 8. Озадачивающие примеры 65 Упражнения и дополнительные замечания к главе 2 (1—87: Раздел 1,1 — 69 16; Раздел 2, 17—87) [10. Аналог формулы Герона. 11. Другой аналог теоремы Пифагора. 12. Еще один аналог теоремы Пифагора. 13. Другой аналог формулы Герона. 17. Разное. 28. Как долог был век Диофанта? 29. Египетская задача. 33. Планиметрия. 34. Ньютон о составлении уравнений при решении геометрических задач. 50. Стереометрия. 60. Неравенство. 61. Сферометр. 63. Атом углерода. 64. Фотометр. 65. График движения. 73. Число уравнений равно числу неизвестных. 74. Число уравнений больше числа неизвестных. 76. Число уравнений меньше числа неизвестных. 77. Диофантовы уравнения. 81. Правила Декарта. 82. Обнажите задачу и расчлените ее. 83. Дополнительные сведения, необходимые для решения задачи. Мобилизация и организация. 84. Независимость и совместность. 85. Единственность решения. Взгляд вперед. 86. Зачем нужны словесные задачи? 87 Дополнительные задачи.] Глава 3. Рекурсия 85 § 1. История одного маленького открытия 85 § 2. Дар небес 88 § 3. И все же оно заслуживает внимания 90 § 4. Рекурсия 92 § 5. Абракадабра 94 § 6. Треугольник Паскаля 97 § 7. Математическая индукция 100 § 8. В поисках новых подходов 102 § 9. Наблюдайте, обобщайте, доказывайте и передоказывайте по-новому 103 Упражнения и дополнительные замечания к главе 3 (1 — 100: Раздел 1, 105 1—22; Раздел 2, 23—31; Раздел 3, 32—59; Раздел 4, 60—100) [2. Частный случай эквивалентен общему случаю. 11. Спасение затонувшего судна. 22. Два вида математической индукции. 24. Сочетания. 39. Треугольные числа. 40. Пирамидальные числа. 43. Числа Фибоначчи. 48. Триномиальные коэффициенты. 55. Гармонический треугольник Лейбница. 56. Паскаль и Лейбниц. 60. Степенные ряды. 66. Биномиальная формула для дробных и отрицательных показателей. 70. Расширение области определения символа С /. 76. Метод неопределенных коэффициентов. 81. Обращение степенного ряда. 87. Дифференциальные уравнения. 99. О числе я. 100. Другие задачи.] Глава 4. Суперпозиция 127 § 1. Интерполяция 127 § 2. Частный случай 130 § 3. Решение общей задачи комбинированием частных решений 131 § 4. Метод суперпозиции 132 Упражнения и дополнительные замечания к главе 4 (1 — 37: Раздел 1,1— 134 17; Раздел 2, 18—37) [И. Линейная комбинация или суперпозиция. 12. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 14. Однородные линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. 15. Числа Фибоначчи. 17. Суперпозиция движений. 18. Разнообразие подходов при решении одной задачи. 19. Что представляет собой неизвестное? 21. Вот уже решенная задача, родственная вашей. 23. Дополнительные сведения. 25. Формула объема призматоида. 31. Никакая цепь не прочнее своего слабейшего звена. 33. Формула Симпсона. 37. Расширение области исследования.] ЧАСТЬ ВТОРАЯ. НА ПУТИ К ОБЩЕМУ МЕТОДУ Глава 5. О задачах 143 § 1. Что такое задача? 143 § 2. Классификация задач 144 § 3. Задачи на нахождение 145 § 4. Задачи на доказательство 147 § 5. Компоненты неизвестного, пункты условия 149 § 6. Ищем соответствующую процедуру 150 Упражнения и дополнительные замечания к главе 5 (1 — 20) 151 [8. Задача на нахождение или задача на доказательство? 9. Другие задачи. 10. Процедура решения задачи может состоять из неограниченной последовательности операций. 11. Квадратура круга. 12. Следование и следствие. 13. Неудачная терминология, двусмысленность. 14. Данные и неизвестное, условие (предпосылка) и заключение. 15. Число необходимых данных. 20. Изучая решение.] Глава 6. Расширение области применения метода 156 § 1. Расширение области применения метода Декарта 156 § 2. Расширение области применения метода двух геометрических мест 160 § 3. С какого пункта условия следует начинать 167 § 4. Расширение области применения рекурсии 171 § 5. Последовательный охват неизвестных 175 Упражнения и дополнительные замечания к главе 6 (1—27) 176 [1. Условие, состоящее из многих пунктов. 9. Сохраните только часть условия. 10. Нить Ариадны. 20. Другие задачи. 21. Промежуточная цель. 22. Графическое представление. 23. Некоторые типы задач нематематического характера. 27. Более тонкая классификация.] Глава 7. Геометрическое представление процесса решения 184 § 1. Метафоры 184 § 2. Что такое задача? 185 §3. Есть идея! 186 § 4. Развитие идеи 188 § 5. Оформление решения 190 § 6. Замедленные кинокадры 191 § 7. Коротко о дальнейшем 193 § 8. План и программа 194 § 9. Задачи внутри задач 194 §10. Зарождение идеи 195 §11. Умственная работа 195 §12. Дисциплина ума 196 Упражнения и дополнительные замечания к главе 7 (1—6) 196 [1. Другой подход. 4. Поиски доказательства. 5. Простейшие диаграммы. 6. Другие задачи.] Глава 8. План и программа 205 § 1. Составление плана как метод решения задачи 205 § 2. Более общий метод 207 § 3. Программа 208 § 4. Выбор между несколькими планами 209 § 5. План и программа 211 § 6. Метод и план 212 Упражнения и дополнительные замечания к главе 8(1
