Содержание

От редактора 9 

Из предисловия автора 13 

Советы и указания 19 

Советы учителям и учителям учителей 20 

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ

Глава 1. Метод двух геометрических мест 25 

§ 1. Геометрические построения 25

§ 2. От примера к методу 26

 § 3. Примеры 27

§ 4. Предположим, что задача решена 29

 § 5. Метод подобия 32

§ 6. Примеры 33

§ 7. Метод вспомогательных фигур 37

Упражнения и дополнительные замечания к главе 1 (1 — 54) 38 [7. Обозначения. 15. Три маяка. 45. Изъян. 47. Взгляд назад. 48. Три наблюдательных пункта. 49. Замечания по поводу метода двух геометрических мест. 50. Метод трех геометрических мест. 52. О геометрических построениях. 53. Дополнительные задачи. 54. Множества.]

Глава 2. Метод Декарта 45

§ 1. Декарт и его идея об универсальном методе 45

§ 2 . Задачка 46

§ 3. Составление уравнений 50

§ 4. Школьные задачи 52

§ 5. Геометрические примеры 56

§ 6. Пример из физики 61

§ 7. Пример из области головоломок 64

§ 8. Озадачивающие примеры 65

Упражнения и дополнительные замечания к главе 2 (1—87: Раздел 1,1 — 69 16; Раздел 2, 17—87) [10. Аналог формулы Герона. 11. Другой аналог теоремы Пифагора. 12. Еще один аналог теоремы Пифагора. 13. Другой аналог формулы Герона. 17. Разное. 28. Как долог был век Диофанта? 29. Египетская задача. 33. Планиметрия. 34. Ньютон о составлении уравнений при решении геометрических задач. 50. Стереометрия. 60. Неравенство. 61. Сферометр. 63. Атом углерода. 64. Фотометр. 65. График движения. 73. Число уравнений равно числу неизвестных. 74. Число уравнений больше числа неизвестных. 76. Число уравнений меньше числа неизвестных. 77. Диофантовы уравнения. 81. Правила Декарта. 82. Обнажите задачу и расчлените ее. 83. Дополнительные сведения, необходимые для решения задачи. Мобилизация и организация. 84. Независимость и совместность. 85. Единственность решения. Взгляд вперед. 86. Зачем нужны словесные задачи? 87 Дополнительные задачи.]

Глава 3. Рекурсия 85

§ 1. История одного маленького открытия 85

§ 2. Дар небес 88

§ 3. И все же оно заслуживает внимания 90

§ 4. Рекурсия 92

§ 5. Абракадабра 94

§ 6. Треугольник Паскаля 97

§ 7. Математическая индукция 100

§ 8. В поисках новых подходов 102

§ 9. Наблюдайте, обобщайте, доказывайте и передоказывайте по-новому 103

Упражнения и дополнительные замечания к главе 3 (1 — 100: Раздел 1, 105 1—22; Раздел 2, 23—31; Раздел 3, 32—59; Раздел 4, 60—100) [2. Частный случай эквивалентен общему случаю. 11. Спасение затонувшего судна. 22. Два вида математической индукции. 24. Сочетания. 39. Треугольные числа. 40. Пирамидальные числа. 43. Числа Фибоначчи. 48. Триномиальные коэффициенты. 55. Гармонический треугольник Лейбница. 56. Паскаль и Лейбниц. 60. Степенные ряды. 66. Биномиальная формула для дробных и отрицательных показателей. 70. Расширение области определения символа С /. 76. Метод неопределенных коэффициентов. 81. Обращение степенного ряда. 87. Дифференциальные уравнения. 99. О числе я. 100. Другие задачи.]

Глава 4. Суперпозиция 127

§ 1. Интерполяция 127

§ 2. Частный случай 130

§ 3. Решение общей задачи комбинированием частных решений 131

§ 4. Метод суперпозиции 132

Упражнения и дополнительные замечания к главе 4 (1 — 37: Раздел 1,1— 134 17; Раздел 2, 18—37) [И. Линейная комбинация или суперпозиция. 12. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 14. Однородные линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. 15. Числа Фибоначчи. 17. Суперпозиция движений. 18. Разнообразие подходов при решении одной задачи. 19. Что представляет собой неизвестное? 21. Вот уже решенная задача, родственная вашей. 23. Дополнительные сведения. 25. Формула объема призматоида. 31. Никакая цепь не прочнее своего слабейшего звена. 33. Формула Симпсона. 37. Расширение области исследования.]

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. НА ПУТИ К ОБЩЕМУ МЕТОДУ

Глава 5. О задачах 143

§ 1. Что такое задача? 143

§ 2. Классификация задач 144

§ 3. Задачи на нахождение 145

§ 4. Задачи на доказательство 147

§ 5. Компоненты неизвестного, пункты условия 149

§ 6. Ищем соответствующую процедуру 150

Упражнения и дополнительные замечания к главе 5 (1 — 20) 151 [8. Задача на нахождение или задача на доказательство? 9. Другие задачи. 10. Процедура решения задачи может состоять из неограниченной последовательности операций. 11. Квадратура круга. 12. Следование и следствие. 13. Неудачная терминология, двусмысленность. 14. Данные и неизвестное, условие (предпосылка) и заключение. 15. Число необходимых данных. 20. Изучая решение.]

Глава 6. Расширение области применения метода 156

§ 1. Расширение области применения метода Декарта 156

§ 2. Расширение области применения метода двух геометрических мест 160

§ 3. С какого пункта условия следует начинать 167

§ 4. Расширение области применения рекурсии 171

§ 5. Последовательный охват неизвестных 175 Упражнения и дополнительные замечания к главе 6 (1—27) 176 [1. Условие, состоящее из многих пунктов. 9. Сохраните только часть условия. 10. Нить Ариадны. 20. Другие задачи. 21. Промежуточная цель. 22. Графическое представление. 23. Некоторые типы задач нематематического характера. 27. Более тонкая классификация.]

Глава 7. Геометрическое представление процесса решения 184

§ 1. Метафоры 184

§ 2. Что такое задача? 185

§3. Есть идея! 186

§ 4. Развитие идеи 188

§ 5. Оформление решения 190

§ 6. Замедленные кинокадры 191

§ 7. Коротко о дальнейшем 193

§ 8. План и программа 194

§ 9. Задачи внутри задач 194

§10. Зарождение идеи 195

 §11. Умственная работа 195

§12. Дисциплина ума 196

Упражнения и дополнительные замечания к главе 7 (1—6) 196 [1. Другой подход. 4. Поиски доказательства. 5. Простейшие диаграммы. 6. Другие задачи.]

Глава 8. План и программа 205

§ 1. Составление плана как метод решения задачи 205

§ 2. Более общий метод 207

§ 3. Программа 208

§ 4. Выбор между несколькими планами 209

§ 5. План и программа 211

§ 6. Метод и план 212

Упражнения и дополнительные замечания к главе 8(1 — 8) 213 [1. От конца к началу или от начала к концу? В обратном направлении или в прямом направлении? Анализ или синтез? 2. Умный начинает с конца. 4. Выбор между тремя планами. 5. Выбор между двумя планами. 6. Реальный план. 8. Не связывайте себя.]

Глава 9. Задачи внутри задач 219

§ 1 Вспомогательные задачи 219

§ 2. Эквивалентные задачи: двусторонняя редукция 220

§ 3. Цепочки эквивалентных задач 222

§ 4. Более результативные или менее результативные вспомогательные задачи; односторонняя редукция 222

§ 5. Косвенные вспомогательные задачи 224

§ 6. Частичная помощь, методологическая помощь, стимулирование, руководство, практика 225

Упражнения и дополнительные замечания к главе 9 (1 — 16) 227 [1. Надежные источники вспомогательных задач? 2. Respice finem. 3.

Отбрасывание или добавление пункта в условии. 4. Расширение или сужение условия. 5. Изучение более сильной или более слабой теоремы. 11. Поиски противоречащего примера. 12. Годится любое найденное решение. 13. Специализация и обобщение. 14. Аналогия. 15. А что если неудача? 16. Другие задачи.]

Глава 10. Зарождение идеи 237

§ 1. Проблеск света 237

§ 2. Пример 237

§ 3. Характерные черты полезной идеи 241

§ 4. Зависимость идеи от случая 243

Упражнения и дополнительные замечания к главе 10 (1 — 2) 244 [1. Внезапность появления идеи. Одна цитата и комментарий к ней. 2. Два эксперимента.]

Глава 11. Умственная работа 245

§ 1. Как мы думаем 245

§ 2. Стремление решить задачу 245

§ 3. Направленность мышления 246

§ 4. Близость решения 246

§ 5. Предвидение 247

§ 6. Область поисков 248

§ 7. Промежуточные решения 249

§ 8. Мобилизация и организация 249

§ 9. Распознавание и вспоминание 250

§ 10. Пополнение и перегруппировка 251

§11. Изоляция и комбинация 252

§ 12. Диаграмма 253

§13. Часть подсказывает целое 256

Упражнения и дополнительные замечания к главе 11(1 — 11) 257 [1. Ваш опыт, ваше суждение. 2. Мобилизация. 3. Прозрение. 4. Часть подсказывает целое. 5. Распознавание. 6. Перегруппировка. 7.

Работа изнутри и работа извне. 8. Эвристический лабиринт. 9.

Продвижение вперед. 10. Вы такой же, как я. 11 Мыши и люди.]

Глава 12. Дисциплина ума 261

§ 1. Как надо думать 261

§ 2. Концентрация внимания на цели 261

§ 3. Оценка перспектив 263

§ 4. Блуждания: поиски подхода 264

§ 5. Блуждания: может быть, есть более обнадеживающий аспект задачи? 265

§ 6. Блуждания: поиски полезных сведений 266

§ 7. Блуждания: может быть, ситуацию следует переоценить?  267

$ 8. Искусство ставить вопросы 268

Упражнения и дополнительные замечания к главе 12 (1 — 16) 269 [1. Измените формулировку задачи. 2. Выразите задачу на языке математики. 4. Хорошо составленный и хорошо упорядоченный запас знаний. 5. При помощи каких данных можно определить подобное неизвестное? 6. Из какого условия (предпосылки) можно вывести такое заключение? 1. Сведения, относящиеся к рассматриваемому вопросу. 8. Аналогия между треугольником и тетраэдром. 12. Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? 13. Вернитесь к определениям. 14. Исследование ближайшей окрестности. 15. Внимание и действие. 16. Продуктивное мышление, творческое мышление.]

Глава 13. Законы открытия? 275

§ 1. Правила бывают разными 275

§ 2. Рациональность 276

§ 3. Экономия, но без предвзятости 277

§ 4. Настойчивость, но и гибкость 278

§ 5. Правила предпочтения 279

§ 6. Части задачи 280

§ 7. Полезные сведения 281

§ 8. Вспомогательные задачи 283

§ 9. Резюме 283 

Упражнения и дополнительные замечания к главе 13 (1 — 3) 284 [1. Одаренный человек, специалист и начинающий. 2. О плодах и планах. 3. Стиль работы.]

Глава 14. Об учении, преподавании и обучении преподаванию 286

§ 1. Преподавание — не наука 286

§ 2. Цель обучения 287

§ 3. Преподавание — это искусство 288

§4. Три принципа изучения 290

§ 5. Три принципа обучения 292

§ 6. Примеры 295

§ 7. Как учить преподаванию 301

§ 8. Позиция учителя 305

Упражнения и дополнительные замечания к главе 14(1 — 29: Раздел 1, 311 1—5; Раздел 2, 6—29) [2. Високосные годы. 6. Почему именно решение задач? 7. Решение задач и построение теории. 8. Решение задач и общая культура. 9. Язык фигур. 10. Рациональные и иррациональные числа. И. Строгость рассуждений. 12. Может ли географическая карта быть совершенной? 13. Чему мы должны учить? 14. Генетический принцип. 15. Бесплодные словоизлияния. 16. Путаница в уровнях. 17. Айседора Дункан. 18. Уровни знания. 19. Повторение и контраст. 20. Изнутри и извне. 22. Насколько это трудно? 23. Трудность задачи и ее образовательная ценность. 24. Несколько типов задач. 27. Семестровая работа. 28. О выступлениях на математических конференциях: правила Цермело. 29. Эпилог.]

Глава 15. Догадка и научный метод 336

§ 1. Научно-исследовательская работа на уровне средней школы 336

§ 2. Пример 336

§ 3. Обсуждение 338

§ 4. Еще один пример 339

§ 5. Графическое представление индуктивного рассуждения 340

§ 6. Один пример из истории 343

§ 7 Научный метод: догадывайтесь и испытывайте 350

§ 8. О некоторых чертах задач «научно-исследовательского характера» 351

§ 9. Выводы 352

Упражнения и дополнительные замечания к главе 15 (1—58: Раздел 1, 1—21; Раздел 2, 22—41; Раздел 3, 42—58) [24. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований. 25. Буриданов осел. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований в физике или «Природа не смеет быть непредсказуемой». 41. п точек сферы. 42. Другие задачи. 45. Периодические дроби. 49. Трапецеидальные числа. 54. Еще одно задание исследовательского характера. 58. Предположение и факт.] Решения упражнении 364

Приложение: Из предисловия к книге Г. Полна и Г. Сеге «Задачи и теоремы из анализа» 441

Библиография 445

Указатель 448